El máximo común divisor (MCD) es el mayor número que divide exactamente a dos o más números, y el mínimo común múltiplo (MCM) es el menor número que es múltiplo de todos ellos. Esta calculadora los obtiene para dos o más números, con la descomposición en factores primos, los factores comunes y no comunes, los divisores comunes, los múltiplos comunes y el algoritmo de Euclides paso a paso. ¿Qué números necesita comparar?
Cómo usar la calculadora.
Basta escribir dos o más números enteros positivos, hasta diez, separados por comas o espacios, y elegir cuántos múltiplos comunes mostrar. El resultado incluye:
- El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
- Los divisores comunes y el menor divisor común mayor que 1.
- Los primeros múltiplos comunes.
- La descomposición de cada número en factores primos, con los comunes y los no comunes resaltados.
- Con dos números, el algoritmo de Euclides y la fracción simplificada.
- Los divisores de cada número.
Los números se escriben sin puntos de miles: 1200 y no 1.200.
Qué es el máximo común divisor.
Un divisor de un número es otro número que lo divide sin dejar residuo: los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Los divisores comunes de varios números son los que aparecen en todas sus listas, y el mayor de ellos es el máximo común divisor.
Supongamos los números 24, 36 y 60. Sus divisores comunes son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, de modo que el MCD es 12. Cuando el único divisor común es 1, se dice que los números son primos entre sí o coprimos, como 17 y 31.
El mínimo común divisor.
Muchas personas buscan el «mínimo común divisor», pero en sentido estricto siempre es 1, porque el 1 divide a cualquier número entero. Lo que suele interesar es el menor divisor común mayor que 1, que la calculadora muestra por separado: para 24, 36 y 60 es 2. Si los números son coprimos, no existe.
Qué es el mínimo común múltiplo.
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por 1, 2, 3 y así sucesivamente. El menor múltiplo que comparten varios números es el mínimo común múltiplo. Para 24, 36 y 60 es 360, y los demás múltiplos comunes son los múltiplos de 360: 720, 1.080, 1.440…
Por la misma razón no existe un «máximo común múltiplo»: los múltiplos comunes son infinitos, de modo que la calculadora lista los primeros.
Cómo se calculan con factores primos.
El método más usado es descomponer cada número en factores primos, es decir, escribirlo como producto de números que solo son divisibles por sí mismos y por 1. Con 24, 36 y 60:
| Número | Factores primos |
|---|---|
| 24 | 2³ × 3 |
| 36 | 2² × 3² |
| 60 | 2² × 3 × 5 |
Los factores comunes son los que aparecen en todos los números, en este caso 2 y 3; los no comunes son los que aparecen solo en algunos, como el 5. Con esa clasificación se aplican dos reglas:
- MCD: se multiplican los factores comunes con su menor exponente: 2² × 3 = 12.
- MCM: se multiplican los factores comunes y no comunes con su mayor exponente: 2³ × 3² × 5 = 360.
La calculadora resalta en colores los factores comunes y los no comunes para que se vea cuáles entran en cada resultado.
El algoritmo de Euclides.
Para dos números grandes, el algoritmo de Euclides es más rápido que factorizar. Se divide el mayor entre el menor y, mientras el residuo no sea cero, se repite la división con el divisor y el residuo. El último residuo distinto de cero es el MCD. Supongamos 48 y 18:
- 48 = 18 × 2 + 12
- 18 = 12 × 1 + 6
- 12 = 6 × 2 + 0
El MCD es 6. Con dos números se cumple además que su producto es igual al producto de su MCD por su MCM, de modo que el MCM es 48 × 18 ÷ 6 = 144.
Para qué sirven el MCD y el MCM.
Más allá de las tareas escolares, ambos resuelven problemas prácticos de reparto y de coincidencia:
Repartir en partes iguales (MCD). Supongamos que un almacén tiene 24 camisas, 36 pantalones y 60 pares de medias y quiere armar paquetes iguales sin que sobre nada. El número máximo de paquetes es el MCD, 12, cada uno con 2 camisas, 3 pantalones y 5 pares de medias.
Saber cuándo coinciden dos ciclos (MCM). Supongamos que un proveedor visita la empresa cada 15 días y otro cada 20. Ambos coinciden cada 60 días, el MCM de 15 y 20.
Simplificar fracciones (MCD). Para simplificar 48/18 se dividen el numerador y el denominador entre su MCD, 6, y queda 8/3.
Sumar fracciones (MCM). El denominador común más pequeño de 1/24 y 1/36 es el MCM de 24 y 36, 72.
Preguntas frecuentes.
A continuación respondemos las preguntas frecuentes de nuestros lectores.
¿Cuál es el mínimo común divisor de dos números?
Siempre es 1. Lo que suele buscarse es el menor divisor común mayor que 1, que es el menor factor primo común; si no hay, los números son coprimos.
¿Qué son los factores comunes y no comunes?
Los comunes son los factores primos que aparecen en la descomposición de todos los números; los no comunes, los que aparecen solo en algunos. El MCD usa solo los comunes y el MCM usa todos.
¿El MCD puede ser mayor que el MCM?
No. El MCD es menor o igual que el menor de los números, y el MCM es mayor o igual que el mayor. Solo son iguales cuando todos los números son iguales.
¿Cómo se calcula el MCD de tres o más números?
Con factores primos, igual que para dos, o calculando el MCD de los dos primeros y luego el de ese resultado con el siguiente número.
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